Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas
Volumen 83. Julio 2013

Resumen

El Teorema Fundamental del Cálculo tal y como lo conocemos actualmente es el resultado de una larga evolución de ideas. Su origen se remonta al siglo XVII con la observación de la relación que existe entre los problemas de cuadraturas y tangentes. Entre los personajes que se percataron de dicha relación destaca el matemático inglés Isaac Barrow. En el presente artículo se discute uno de los resultados de Barrow que puede considerarse como una versión preliminar del Teorema Fundamental en un contexto geométrico.

Palabras clave

Cálculo, tangentes, cuadraturas, historia, teorema fundamental del cálculo.

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1. Introducción

El Cálculo es considerado, junto con la Geometría, una de las creaciones más importantes dentro de las matemáticas (Kline, 1972, p.342). Fue creado, básicamente, para tratar los cuatro principales problemas planteados durante los siglos XV al XVII, algunos de los cuales ya habían sido abordados por los griegos en la antigüedad. El primero de estos problemas era, dada la fórmula para la distancia recorrida por un cuerpo como función del tiempo, encontrar la velocidad y aceleración instantánea; inversamente, dada la fórmula para la aceleración como una función del tiempo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida. En el segundo problema se buscaba la tangente a una curva dada en un punto dado (problema de las tangentes) y en el tercero los valores máximos y mínimos de una función. Por último, el cuarto problema era encontrar el área y el volumen acotados por curvas y superficies, respectivamente (problema de las cuadraturas).

Los problemas antes mencionados fueron abordados, generalmente, como casos aislados por muchos científicos y matemáticos entre los siglos XV y XVII. Todas sus contribuciones fueron la base para el trabajo que posteriormente desarrollarían, de manera independiente, dos grandes personajes: el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (1642-1727) y el abogado, filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Newton y Leibniz abordaron los cuatro principales problemas pero basados en dos conceptos generales, conocidos actualmente como Derivada e Integral (Grabiner, 1983, p. 199). Su mayor contribución dentro del Cálculo fue el hecho de haber reconocido con claridad la relación que existe entre los problemas de cuadraturas y tangentes, pues por ejemplo un problema de cuadraturas se podía reducir a un problema de encontrar una curva que tenía una cierta regla de tangencia y también el trazo de una tangente a curva en un punto se podía reducir al problema de una cuadratura. Posteriormente, lo anterior se tradujo en lo que conocemos actualmente como relaciones de reciprocidad entre los procesos de Integración y Diferenciación, lo cual establece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC). Es por esta razón que este teorema suele atribuirse a estos dos grandes matemáticos. Sin embargo, ellos no fueron los primeros ni los únicos en percatarse de la relación entre los problemas de cuadraturas y tangentes, tampoco enunciaron ni establecieron el TFC tal y como lo conocemos actualmente.

Entre los científicos que se percataron de la relación entre los problemas de cuadraturas y tangentes, previo a Newton y Leibniz, podemos destacar al matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677). En este artículo, se presenta un resultado de Barrow el cual puede interpretarse como una versión preliminar del TFC en un contexto geométrico.

13 de julio de 2013